Proses Berpikir Matematika

 

Pembuktian Kontradiksi (Counterxample)

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin daan memajukan daya pikir manusia. Matematika merupakan mata pelajaran yang wajib ada dan perlu diberikan kepada semua peserta diidk mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta diidk dengan kemampuan berpikir logis, analistis, sistematis, kritis, kreatif, serta kemampuan bekerjasama.

 

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita menggunakan pikiran kita untuk memecahkan suatu permasalahan yang ada, beigtu pula dalam mengambil sebuah keputusan. Sebelum membuat keputusan atau memecahkan suatu permasalahan, terlebih dahulu diharapkan untuk menarik kesimpulan dari beberapa gagasan atau informasi yang telah ada. Dalam penarikan kesimpulan tersebut tentunya harus memiliki kemampuan agar ptroses penarikan kesimpulan tersebut menjadi valid.

 

Memecahkan permasalahan dalam matematika, menarik kesimpulan dalam adanya pernyataan-pernyataan haruslah dengan cara atau langkah yang sesuai. Hal ini merujuk pada pemecahan permasalahan bagaimana pembuktian atau pembenaran dalam sebuah pernyataan dimana pembuktian ini dibedakan secara langsung dan tidak langsung. Masing-masing cara pembuktian ini memiliki metodenya masing-masing, dimana pembuktian langsung menggunakan aksioma, definisi, dan teorema. Sedangkan pembuktian tidak langsung dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti kontraposisi dan kontradiksi.

A. Pembuktian Kontradiksi

Pembuktian Kontradiksi termasuk ke dalam bagian pembuktian tidak langsung yang menggunakan bentuk kontradiksi. Kontradiksi sendiri bermakna bahwa semua nilai kebenaran selalu bernilai False (F). Untuk mengingat dan memahami kembali konsep mengenai kontradiksi, perhatikanlah contoh kontradiksi di bawah ini.

Maka, pembuktian kontradiksi merupakan sebuah metode pembuktian teorema dengan bentuk implikasi p Þ q. Namun, metode pembuktian ini memiliki keunikannya tersendiri yaitu dengan mengasumsikan bahwa hipotesis (pernyataan p) bernilai benar sedangkan kesimpulannya (pernyataan q) bernilai salah (~q). Kemudian akan ditelusuri bagaimana nilai kebenaran teorema tersebut, apakah terbukti atau tidak. Karena menggunakan pembuktian kontradiksi, dapat dipastikan bahwa nilai kesimpulan dari pernyataan yang diubah menjadi kontradiksi akan bernilai salah.

Untuk membuktikan suatu teorema pembuktian kontradiksi ialah sama dengan cara pembuktian langsung, yaitu dengan menggunakan tabel pembuktian dan penulisan formal (formal writing).

 

Setelah memahami pengertian dari pembuktian kontradiksi, disajikan contoh soal yang dapat menambah pemahaman mengenai pembuktian kontradiksi.

     Buktikan menggunakan tabel dan penulisan formal dalam pembuktian kontradiksi jika n adalah

     bilangan ganjil, maka 3n + 1 adalah bilangan genap.

Demikianlah yang dapat disajikan pada makalah ini. Sehingga dapat ditarik simpulan bahwa pembuktian kontradiksi dapat dilihat dari kata ‘kontra’ yang berarti bertolak belakang atau berlawanan. Pembuktian kontradiksi dikatakan unik karena memerlukan logika dan kesabaran untuk membuktikannya. Sama halnya implikasi yang memiliki ekuivalensi dengan kontraposisi , negasi dari sebuah implikasi juga memiliki ekuivalensi dengan sebuah pernyataan lain. Bentuk pernyataan yang ekuivalen dengan negasi implikasi dapat dinyatakan sebagai berikut:

~(p Þ q) º p Ù ~q

Sebuah pernyataan berupa implikasi p Þ q memiliki negasi ~(p Þ q). Jika implikasinya bernilai tautologi (semua benar), maka sudah dipastikan negasinya bernilai kontradiksi (semua salah). Pada pembuktian kontradiksi ini akan ditelusuri bahwa pernyataan implikasi bernilai benar dengan membuktikan bahwa pernyataan kontradiksi merupakan pernyataan yang salah. Agar bisa menyatakan bahwa suatu pernyataan kontradiksi bernilai salah, maka dapat diasumsikan terlebih dahulu apabila kesimpulan (pernyataan q) bernilai salah. Selanjutnya dapat dilanjutkan pembuktiannya hingga dapat ditarik sebuah kesimpulan.