Proses Berpikir Matematika

 

Pembuktian Langsung

Dalam proses belajar mahasiswa berpikir untuk mendapatkan suatu pengetahuan, yang nantinya akan digunakan untuk mempelajari hal-hal yang baru. Salah satu faktor pengganggu proses belajar mahasiswa ialah kurangnya pengetahuan dan keterampilan prasyarat. Semakin banyak latar belakang pengetahuan yang disediakan, maka semakin baik dan cepat pembelajaran tersebut terjadi. Dalam memperoleh pengetahuan dan suatu keterampilan itu sendiri diperlukan suatu kemampuan dalam berpikir. Kemampuan dalam berpikir dan mengontrol setiap proses berpikir yang dilakukan untuk meningkatkan proses belajar itu sendiri merupakan metakognisi.

 

Masalah pembuktian matematika dimana tujuannya sudah ditentukan, tetapi langkah-langkah dalam membuktikan tersebut yang perlu di manipulasi atau di konstruksi oleh mahasiswa sesuai pemilihan strategi penyelesaian yang digunakan, pelaksanaan setiap langkah penyelesaian dan mengevaluasi setiap proses tersebut, sehingga menghasilkan langkah-langkah yang benar serta menghasilkan kesimpulan bahwa suatu pernyataan tersebut benar adanya. Dalam mengkonstruksi pembuktian, mahasiswa dapat menggunakan metode pembuktian matematika dikelompokkan menjadi pembuktian langsung dan pembuktian tidak langsung.

 

Pada makalah ini, kami akan dibahas soal dengan penyelesaian pembuktian langsung. Pembuktian langsung merupakan suatu metode pembuktian teorema yang berbentuk implikasi p Þ q. Pembuktian langsung dapat diselesaikan dengan tabel atau penulisan formal.

Pembuktian langsung merupakan salah satu bagian dari pembuktian dalam matematika. Bukti sendiri memiliki pengertian serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran atas suatu pernyataan.

 

Terdapat tiga unsur dalam pembuktian matematika, yaitu:

• Aksioma, merupakan sebuah pernyataan yang sudah pasti kebenarannya dan bersifat umum. Contohnya ialah rumus matematika yang digunakan di seluruh bagian dunia.
• Defisini, merupakan pernyataan terkait suatu konsep tertentu yang merupakan hasil dari kesepakatan bersama. Seperti definisi dari garis atau lainnya.
• Teorema, merupakan pernyataan yang kebenarannya dapat dibuktikan melalui sebuah pembuktian. Teorema yang sudah dibuktikan salah satunya ialah teorema pythagoras.

Ketiga unsur tesebut sangatlah berkaitan dengan materi pembuktian matematika. Pembuktian langsung merupakan sebuah teorema yang berbentuk implikasi (p Þ q) dimana p berperan sebagai hipotesis dan q merupakan sebuah kesimpulan.

Dalam membuktikan sebuah pembuktian, dapat digunakan dua metode, yaitu metode tabel pembuktian dan penulisan formal pembuktian (formal writing). Untuk mengetahui seperti apa dan bagaimana cara melakukan pembuktian langsung dapat dilihat pada latihan soal di subbab berikutnya.

Contoh soal:

Buktikan dengan menggunakan tabel dan penulisan formal pembuktian untuk proposisi berikut “Jika suatu bilangan bulat n adalah genap, maka 2n³ + n habis dibagi 3”.

a. Tabel pembuktian

Jika suatu bilangan bulat n adalah genap, maka 2n³ + n habis dibagi 3

 Hipotesis: Bilangan bulat n adalah genap

Kesimpulan: 2n³ + n habis dibagi 3

b. Penulisan formal (formal writing)

Penyelesaian:

Kita asumsikan bilangan bulat n adalah genap dan akan dibuktikan bahwa 2n³ + n habis dibagi 3.

Karena n adalah bilangan bulat genap, maka n = 2x.

Gunakan aljabar, diperoleh:

Selama n adalah bilangan bulat genap dan tidak berlaku sifat tertutup untuk operasi pembagian, maka harus dibuktikan bahwa seluruh elemen pembilang dapat dibagi habis oleh 3. Akan tetapi, pada operasi tersebut semua pembilang tidak dapat habis dibagi 3, sehingga kesimpulan bahwa 2n³ + n habis dibagi 3 tidak terbukti.

Demikianlah yang dapat disajikan pada makalah ini. Sehingga dapat ditarik simpulan bahwa pembuktian merupakan serangkaian proses yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan menggunakan argumen dan tahapan yang logis. Terdapat tiga unsur dalam pembuktian, yaitu aksioma, definisi, dan teorema. Sedang pembuktian matematika sendiri dibedakan menjadi pembuktian langsung dan tidak langsung. Pembuktian lansgung merupakan sebuah teorema yang berbentuk implikasi. Metode pembuktian lansgung ialah tabel pembuktian dan penulisan formal pembuktian.

Pembuktian kontradiksi